Theory "numRing"

Signature

Definitions

num_interp_sp_def

|- num_interp_sp = interp_sp (semi_ring 0 1 $+ $* )

num_spolynom_simplify_def

|- num_spolynom_simplify = spolynom_simplify (semi_ring 0 1 $+ $* )

num_spolynom_normalize_def

|- num_spolynom_normalize = spolynom_normalize (semi_ring 0 1 $+ $* )

num_interp_cs_def

|- num_interp_cs = interp_cs (semi_ring 0 1 $+ $* )

num_ics_aux_def

|- num_ics_aux = ics_aux (semi_ring 0 1 $+ $* )

num_interp_m_def

|- num_interp_m = interp_m (semi_ring 0 1 $+ $* )

num_interp_vl_def

|- num_interp_vl = interp_vl (semi_ring 0 1 $+ $* )

num_ivl_aux_def

|- num_ivl_aux = ivl_aux (semi_ring 0 1 $+ $* )

num_canonical_sum_simplify_def

|- num_canonical_sum_simplify = canonical_sum_simplify (semi_ring 0 1 $+ $* )

num_canonical_sum_prod_def

|- num_canonical_sum_prod = canonical_sum_prod (semi_ring 0 1 $+ $* )

num_canonical_sum_scalar3_def

|- num_canonical_sum_scalar3 = canonical_sum_scalar3 (semi_ring 0 1 $+ $* )

num_canonical_sum_scalar2_def

|- num_canonical_sum_scalar2 = canonical_sum_scalar2 (semi_ring 0 1 $+ $* )

num_canonical_sum_scalar_def

|- num_canonical_sum_scalar = canonical_sum_scalar (semi_ring 0 1 $+ $* )

num_varlist_insert_def

|- num_varlist_insert = varlist_insert (semi_ring 0 1 $+ $* )

num_monom_insert_def

|- num_monom_insert = monom_insert (semi_ring 0 1 $+ $* )

num_canonical_sum_merge_def

|- num_canonical_sum_merge = canonical_sum_merge (semi_ring 0 1 $+ $* )

Theorems

num_semi_ring

|- is_semi_ring (semi_ring 0 1 $+ $* )

num_ring_thms

|- is_semi_ring (semi_ring 0 1 $+ $* ) /\
   (!vm p. num_interp_sp vm p = num_interp_cs vm (num_spolynom_simplify p)) /\
   (((!vm c. num_interp_sp vm (SPconst c) = c) /\
     (!vm i. num_interp_sp vm (SPvar i) = varmap_find i vm) /\
     (!vm p1 p2.
        num_interp_sp vm (SPplus p1 p2) =
        num_interp_sp vm p1 + num_interp_sp vm p2) /\
     !vm p1 p2.
       num_interp_sp vm (SPmult p1 p2) =
       num_interp_sp vm p1 * num_interp_sp vm p2) /\
    (varmap_find End_idx (Node_vm x v1 v2) = x) /\
    (varmap_find (Right_idx i1) (Node_vm x v1 v2) = varmap_find i1 v2) /\
    (varmap_find (Left_idx i1) (Node_vm x v1 v2) = varmap_find i1 v1) /\
    (varmap_find End_idx Empty_vm = @x. T) /\
    (varmap_find (Right_idx v6) Empty_vm = @x. T) /\
    (varmap_find (Left_idx v5) Empty_vm = @x. T)) /\
   ((num_canonical_sum_merge (Cons_monom c1 l1 t1) (Cons_monom c2 l2 t2) =
     compare (list_compare index_compare l1 l2)
       (Cons_monom c1 l1 (num_canonical_sum_merge t1 (Cons_monom c2 l2 t2)))
       (Cons_monom (c1 + c2) l1 (num_canonical_sum_merge t1 t2))
       (Cons_monom c2 l2
          (num_canonical_sum_merge (Cons_monom c1 l1 t1) t2))) /\
    (num_canonical_sum_merge (Cons_monom c1 l1 t1) (Cons_varlist l2 t2) =
     compare (list_compare index_compare l1 l2)
       (Cons_monom c1 l1 (num_canonical_sum_merge t1 (Cons_varlist l2 t2)))
       (Cons_monom (c1 + 1) l1 (num_canonical_sum_merge t1 t2))
       (Cons_varlist l2
          (num_canonical_sum_merge (Cons_monom c1 l1 t1) t2))) /\
    (num_canonical_sum_merge (Cons_varlist l1 t1) (Cons_monom c2 l2 t2) =
     compare (list_compare index_compare l1 l2)
       (Cons_varlist l1 (num_canonical_sum_merge t1 (Cons_monom c2 l2 t2)))
       (Cons_monom (1 + c2) l1 (num_canonical_sum_merge t1 t2))
       (Cons_monom c2 l2
          (num_canonical_sum_merge (Cons_varlist l1 t1) t2))) /\
    (num_canonical_sum_merge (Cons_varlist l1 t1) (Cons_varlist l2 t2) =
     compare (list_compare index_compare l1 l2)
       (Cons_varlist l1 (num_canonical_sum_merge t1 (Cons_varlist l2 t2)))
       (Cons_monom (1 + 1) l1 (num_canonical_sum_merge t1 t2))
       (Cons_varlist l2 (num_canonical_sum_merge (Cons_varlist l1 t1) t2))) /\
    (num_canonical_sum_merge (Cons_varlist v7 v8) Nil_monom =
     Cons_varlist v7 v8) /\
    (num_canonical_sum_merge (Cons_monom v4 v5 v6) Nil_monom =
     Cons_monom v4 v5 v6) /\
    (num_canonical_sum_merge Nil_monom Nil_monom = Nil_monom) /\
    (num_canonical_sum_merge Nil_monom (Cons_varlist v17 v18) =
     Cons_varlist v17 v18) /\
    (num_canonical_sum_merge Nil_monom (Cons_monom v14 v15 v16) =
     Cons_monom v14 v15 v16)) /\
   ((num_monom_insert c1 l1 (Cons_monom c2 l2 t2) =
     compare (list_compare index_compare l1 l2)
       (Cons_monom c1 l1 (Cons_monom c2 l2 t2)) (Cons_monom (c1 + c2) l1 t2)
       (Cons_monom c2 l2 (num_monom_insert c1 l1 t2))) /\
    (num_monom_insert c1 l1 (Cons_varlist l2 t2) =
     compare (list_compare index_compare l1 l2)
       (Cons_monom c1 l1 (Cons_varlist l2 t2)) (Cons_monom (c1 + 1) l1 t2)
       (Cons_varlist l2 (num_monom_insert c1 l1 t2))) /\
    (num_monom_insert c1 l1 Nil_monom = Cons_monom c1 l1 Nil_monom)) /\
   ((num_varlist_insert l1 (Cons_monom c2 l2 t2) =
     compare (list_compare index_compare l1 l2)
       (Cons_varlist l1 (Cons_monom c2 l2 t2)) (Cons_monom (1 + c2) l1 t2)
       (Cons_monom c2 l2 (num_varlist_insert l1 t2))) /\
    (num_varlist_insert l1 (Cons_varlist l2 t2) =
     compare (list_compare index_compare l1 l2)
       (Cons_varlist l1 (Cons_varlist l2 t2)) (Cons_monom (1 + 1) l1 t2)
       (Cons_varlist l2 (num_varlist_insert l1 t2))) /\
    (num_varlist_insert l1 Nil_monom = Cons_varlist l1 Nil_monom)) /\
   ((!c0 c l t.
       num_canonical_sum_scalar c0 (Cons_monom c l t) =
       Cons_monom (c0 * c) l (num_canonical_sum_scalar c0 t)) /\
    (!c0 l t.
       num_canonical_sum_scalar c0 (Cons_varlist l t) =
       Cons_monom c0 l (num_canonical_sum_scalar c0 t)) /\
    !c0. num_canonical_sum_scalar c0 Nil_monom = Nil_monom) /\
   ((!l0 c l t.
       num_canonical_sum_scalar2 l0 (Cons_monom c l t) =
       num_monom_insert c (list_merge index_lt l0 l)
         (num_canonical_sum_scalar2 l0 t)) /\
    (!l0 l t.
       num_canonical_sum_scalar2 l0 (Cons_varlist l t) =
       num_varlist_insert (list_merge index_lt l0 l)
         (num_canonical_sum_scalar2 l0 t)) /\
    !l0. num_canonical_sum_scalar2 l0 Nil_monom = Nil_monom) /\
   ((!c0 l0 c l t.
       num_canonical_sum_scalar3 c0 l0 (Cons_monom c l t) =
       num_monom_insert (c0 * c) (list_merge index_lt l0 l)
         (num_canonical_sum_scalar3 c0 l0 t)) /\
    (!c0 l0 l t.
       num_canonical_sum_scalar3 c0 l0 (Cons_varlist l t) =
       num_monom_insert c0 (list_merge index_lt l0 l)
         (num_canonical_sum_scalar3 c0 l0 t)) /\
    !c0 l0. num_canonical_sum_scalar3 c0 l0 Nil_monom = Nil_monom) /\
   ((!c1 l1 t1 s2.
       num_canonical_sum_prod (Cons_monom c1 l1 t1) s2 =
       num_canonical_sum_merge (num_canonical_sum_scalar3 c1 l1 s2)
         (num_canonical_sum_prod t1 s2)) /\
    (!l1 t1 s2.
       num_canonical_sum_prod (Cons_varlist l1 t1) s2 =
       num_canonical_sum_merge (num_canonical_sum_scalar2 l1 s2)
         (num_canonical_sum_prod t1 s2)) /\
    !s2. num_canonical_sum_prod Nil_monom s2 = Nil_monom) /\
   ((!c l t.
       num_canonical_sum_simplify (Cons_monom c l t) =
       (if c = 0 then
          num_canonical_sum_simplify t
        else
          (if c = 1 then
             Cons_varlist l (num_canonical_sum_simplify t)
           else
             Cons_monom c l (num_canonical_sum_simplify t)))) /\
    (!l t.
       num_canonical_sum_simplify (Cons_varlist l t) =
       Cons_varlist l (num_canonical_sum_simplify t)) /\
    (num_canonical_sum_simplify Nil_monom = Nil_monom)) /\
   ((!vm x. num_ivl_aux vm x [] = varmap_find x vm) /\
    !vm x x' t'.
      num_ivl_aux vm x (x'::t') = varmap_find x vm * num_ivl_aux vm x' t') /\
   ((!vm. num_interp_vl vm [] = 1) /\
    !vm x t. num_interp_vl vm (x::t) = num_ivl_aux vm x t) /\
   ((!vm c. num_interp_m vm c [] = c) /\
    !vm c x t. num_interp_m vm c (x::t) = c * num_ivl_aux vm x t) /\
   ((!vm a. num_ics_aux vm a Nil_monom = a) /\
    (!vm a l t.
       num_ics_aux vm a (Cons_varlist l t) =
       a + num_ics_aux vm (num_interp_vl vm l) t) /\
    !vm a c l t.
      num_ics_aux vm a (Cons_monom c l t) =
      a + num_ics_aux vm (num_interp_m vm c l) t) /\
   ((!vm. num_interp_cs vm Nil_monom = 0) /\
    (!vm l t.
       num_interp_cs vm (Cons_varlist l t) =
       num_ics_aux vm (num_interp_vl vm l) t) /\
    !vm c l t.
      num_interp_cs vm (Cons_monom c l t) =
      num_ics_aux vm (num_interp_m vm c l) t) /\
   ((!i. num_spolynom_normalize (SPvar i) = Cons_varlist [i] Nil_monom) /\
    (!c. num_spolynom_normalize (SPconst c) = Cons_monom c [] Nil_monom) /\
    (!l r.
       num_spolynom_normalize (SPplus l r) =
       num_canonical_sum_merge (num_spolynom_normalize l)
         (num_spolynom_normalize r)) /\
    !l r.
      num_spolynom_normalize (SPmult l r) =
      num_canonical_sum_prod (num_spolynom_normalize l)
        (num_spolynom_normalize r)) /\
   !x.
     num_spolynom_simplify x =
     num_canonical_sum_simplify (num_spolynom_normalize x)

num_rewrites

|- ((!n. 0 + n = n) /\ (!n. n + 0 = n) /\
    (!n m. NUMERAL n + NUMERAL m = NUMERAL (numeral$iZ (n + m))) /\
    (!n. 0 * n = 0) /\ (!n. n * 0 = 0) /\
    (!n m. NUMERAL n * NUMERAL m = NUMERAL (n * m)) /\ (!n. 0 - n = 0) /\
    (!n. n - 0 = n) /\ (!n m. NUMERAL n - NUMERAL m = NUMERAL (n - m)) /\
    (!n. 0 ** NUMERAL (BIT1 n) = 0) /\ (!n. 0 ** NUMERAL (BIT2 n) = 0) /\
    (!n. n ** 0 = 1) /\ (!n m. NUMERAL n ** NUMERAL m = NUMERAL (n ** m)) /\
    (SUC 0 = 1) /\ (!n. SUC (NUMERAL n) = NUMERAL (SUC n)) /\ (PRE 0 = 0) /\
    (!n. PRE (NUMERAL n) = NUMERAL (PRE n)) /\
    (!n. (NUMERAL n = 0) = (n = ZERO)) /\
    (!n. (0 = NUMERAL n) = (n = ZERO)) /\
    (!n m. (NUMERAL n = NUMERAL m) = (n = m)) /\ (!n. n < 0 = F) /\
    (!n. 0 < NUMERAL n = ZERO < n) /\ (!n m. NUMERAL n < NUMERAL m = n < m) /\
    (!n. 0 > n = F) /\ (!n. NUMERAL n > 0 = ZERO < n) /\
    (!n m. NUMERAL n > NUMERAL m = m < n) /\ (!n. 0 <= n = T) /\
    (!n. NUMERAL n <= 0 = n <= ZERO) /\
    (!n m. NUMERAL n <= NUMERAL m = n <= m) /\ (!n. n >= 0 = T) /\
    (!n. 0 >= n = (n = 0)) /\ (!n m. NUMERAL n >= NUMERAL m = m <= n) /\
    (!n. ODD (NUMERAL n) = ODD n) /\ (!n. EVEN (NUMERAL n) = EVEN n) /\
    ~ODD 0 /\ EVEN 0) /\
   (!n m.
      ((ZERO = BIT1 n) = F) /\ ((BIT1 n = ZERO) = F) /\
      ((ZERO = BIT2 n) = F) /\ ((BIT2 n = ZERO) = F) /\
      ((BIT1 n = BIT2 m) = F) /\ ((BIT2 n = BIT1 m) = F) /\
      ((BIT1 n = BIT1 m) = (n = m)) /\ ((BIT2 n = BIT2 m) = (n = m))) /\
   ((SUC ZERO = BIT1 ZERO) /\ (!n. SUC (BIT1 n) = BIT2 n) /\
    !n. SUC (BIT2 n) = BIT1 (SUC n)) /\
   ((numeral$iiSUC ZERO = BIT2 ZERO) /\
    (numeral$iiSUC (BIT1 n) = BIT1 (SUC n)) /\
    (numeral$iiSUC (BIT2 n) = BIT2 (SUC n))) /\
   (!n m.
      (numeral$iZ (ZERO + n) = n) /\ (numeral$iZ (n + ZERO) = n) /\
      (numeral$iZ (BIT1 n + BIT1 m) = BIT2 (numeral$iZ (n + m))) /\
      (numeral$iZ (BIT1 n + BIT2 m) = BIT1 (SUC (n + m))) /\
      (numeral$iZ (BIT2 n + BIT1 m) = BIT1 (SUC (n + m))) /\
      (numeral$iZ (BIT2 n + BIT2 m) = BIT2 (SUC (n + m))) /\
      (SUC (ZERO + n) = SUC n) /\ (SUC (n + ZERO) = SUC n) /\
      (SUC (BIT1 n + BIT1 m) = BIT1 (SUC (n + m))) /\
      (SUC (BIT1 n + BIT2 m) = BIT2 (SUC (n + m))) /\
      (SUC (BIT2 n + BIT1 m) = BIT2 (SUC (n + m))) /\
      (SUC (BIT2 n + BIT2 m) = BIT1 (numeral$iiSUC (n + m))) /\
      (numeral$iiSUC (ZERO + n) = numeral$iiSUC n) /\
      (numeral$iiSUC (n + ZERO) = numeral$iiSUC n) /\
      (numeral$iiSUC (BIT1 n + BIT1 m) = BIT2 (SUC (n + m))) /\
      (numeral$iiSUC (BIT1 n + BIT2 m) = BIT1 (numeral$iiSUC (n + m))) /\
      (numeral$iiSUC (BIT2 n + BIT1 m) = BIT1 (numeral$iiSUC (n + m))) /\
      (numeral$iiSUC (BIT2 n + BIT2 m) = BIT2 (numeral$iiSUC (n + m)))) /\
   (!n m.
      (ZERO * n = ZERO) /\ (n * ZERO = ZERO) /\
      (BIT1 n * m = numeral$iZ (numeral$iDUB (n * m) + m)) /\
      (BIT2 n * m = numeral$iDUB (numeral$iZ (n * m + m)))) /\
   (!n.
      (numeral$iDUB (BIT1 n) = BIT2 (numeral$iDUB n)) /\
      (numeral$iDUB (BIT2 n) = BIT2 (BIT1 n)) /\
      (numeral$iDUB ZERO = ZERO)) /\ ((ALT_ZERO = ALT_ZERO) = T) /\
   ((0 = 0) = T)