Theory "numeral"

Signature

Definitions

iZ

|- !x. numeral$iZ x = x

iiSUC

|- !n. numeral$iiSUC n = SUC (SUC n)

iBIT_cases

|- (!zf bf1 bf2. iBIT_cases ZERO zf bf1 bf2 = zf) /\
   (!n zf bf1 bf2. iBIT_cases (BIT1 n) zf bf1 bf2 = bf1 n) /\
   !n zf bf1 bf2. iBIT_cases (BIT2 n) zf bf1 bf2 = bf2 n

iDUB

|- !x. numeral$iDUB x = x + x

iSUB_DEF

|- (!b x. numeral$iSUB b ZERO x = ZERO) /\
   (!b n x.
      numeral$iSUB b (BIT1 n) x =
      (if b then
         iBIT_cases x (BIT1 n) (\m. numeral$iDUB (numeral$iSUB T n m))
           (\m. BIT1 (numeral$iSUB F n m))
       else
         iBIT_cases x (numeral$iDUB n) (\m. BIT1 (numeral$iSUB F n m))
           (\m. numeral$iDUB (numeral$iSUB F n m)))) /\
   !b n x.
     numeral$iSUB b (BIT2 n) x =
     (if b then
        iBIT_cases x (BIT2 n) (\m. BIT1 (numeral$iSUB T n m))
          (\m. numeral$iDUB (numeral$iSUB T n m))
      else
        iBIT_cases x (BIT1 n) (\m. numeral$iDUB (numeral$iSUB T n m))
          (\m. BIT1 (numeral$iSUB F n m)))

iSQR

|- !x. numeral$iSQR x = x * x

iMOD_2EXP

|- numeral$iMOD_2EXP = MOD_2EXP

Theorems

numeral_suc

|- (SUC ZERO = BIT1 ZERO) /\ (!n. SUC (BIT1 n) = BIT2 n) /\
   !n. SUC (BIT2 n) = BIT1 (SUC n)

numeral_distrib

|- (!n. 0 + n = n) /\ (!n. n + 0 = n) /\
   (!n m. NUMERAL n + NUMERAL m = NUMERAL (numeral$iZ (n + m))) /\
   (!n. 0 * n = 0) /\ (!n. n * 0 = 0) /\
   (!n m. NUMERAL n * NUMERAL m = NUMERAL (n * m)) /\ (!n. 0 - n = 0) /\
   (!n. n - 0 = n) /\ (!n m. NUMERAL n - NUMERAL m = NUMERAL (n - m)) /\
   (!n. 0 ** NUMERAL (BIT1 n) = 0) /\ (!n. 0 ** NUMERAL (BIT2 n) = 0) /\
   (!n. n ** 0 = 1) /\ (!n m. NUMERAL n ** NUMERAL m = NUMERAL (n ** m)) /\
   (SUC 0 = 1) /\ (!n. SUC (NUMERAL n) = NUMERAL (SUC n)) /\ (PRE 0 = 0) /\
   (!n. PRE (NUMERAL n) = NUMERAL (PRE n)) /\
   (!n. (NUMERAL n = 0) = (n = ZERO)) /\ (!n. (0 = NUMERAL n) = (n = ZERO)) /\
   (!n m. (NUMERAL n = NUMERAL m) = (n = m)) /\ (!n. n < 0 = F) /\
   (!n. 0 < NUMERAL n = ZERO < n) /\ (!n m. NUMERAL n < NUMERAL m = n < m) /\
   (!n. 0 > n = F) /\ (!n. NUMERAL n > 0 = ZERO < n) /\
   (!n m. NUMERAL n > NUMERAL m = m < n) /\ (!n. 0 <= n = T) /\
   (!n. NUMERAL n <= 0 = n <= ZERO) /\
   (!n m. NUMERAL n <= NUMERAL m = n <= m) /\ (!n. n >= 0 = T) /\
   (!n. 0 >= n = (n = 0)) /\ (!n m. NUMERAL n >= NUMERAL m = m <= n) /\
   (!n. ODD (NUMERAL n) = ODD n) /\ (!n. EVEN (NUMERAL n) = EVEN n) /\
   ~ODD 0 /\ EVEN 0

numeral_iisuc

|- (numeral$iiSUC ZERO = BIT2 ZERO) /\
   (numeral$iiSUC (BIT1 n) = BIT1 (SUC n)) /\
   (numeral$iiSUC (BIT2 n) = BIT2 (SUC n))

numeral_add

|- !n m.
     (numeral$iZ (ZERO + n) = n) /\ (numeral$iZ (n + ZERO) = n) /\
     (numeral$iZ (BIT1 n + BIT1 m) = BIT2 (numeral$iZ (n + m))) /\
     (numeral$iZ (BIT1 n + BIT2 m) = BIT1 (SUC (n + m))) /\
     (numeral$iZ (BIT2 n + BIT1 m) = BIT1 (SUC (n + m))) /\
     (numeral$iZ (BIT2 n + BIT2 m) = BIT2 (SUC (n + m))) /\
     (SUC (ZERO + n) = SUC n) /\ (SUC (n + ZERO) = SUC n) /\
     (SUC (BIT1 n + BIT1 m) = BIT1 (SUC (n + m))) /\
     (SUC (BIT1 n + BIT2 m) = BIT2 (SUC (n + m))) /\
     (SUC (BIT2 n + BIT1 m) = BIT2 (SUC (n + m))) /\
     (SUC (BIT2 n + BIT2 m) = BIT1 (numeral$iiSUC (n + m))) /\
     (numeral$iiSUC (ZERO + n) = numeral$iiSUC n) /\
     (numeral$iiSUC (n + ZERO) = numeral$iiSUC n) /\
     (numeral$iiSUC (BIT1 n + BIT1 m) = BIT2 (SUC (n + m))) /\
     (numeral$iiSUC (BIT1 n + BIT2 m) = BIT1 (numeral$iiSUC (n + m))) /\
     (numeral$iiSUC (BIT2 n + BIT1 m) = BIT1 (numeral$iiSUC (n + m))) /\
     (numeral$iiSUC (BIT2 n + BIT2 m) = BIT2 (numeral$iiSUC (n + m)))

numeral_eq

|- !n m.
     ((ZERO = BIT1 n) = F) /\ ((BIT1 n = ZERO) = F) /\
     ((ZERO = BIT2 n) = F) /\ ((BIT2 n = ZERO) = F) /\
     ((BIT1 n = BIT2 m) = F) /\ ((BIT2 n = BIT1 m) = F) /\
     ((BIT1 n = BIT1 m) = (n = m)) /\ ((BIT2 n = BIT2 m) = (n = m))

numeral_lt

|- !n m.
     (ZERO < BIT1 n = T) /\ (ZERO < BIT2 n = T) /\ (n < ZERO = F) /\
     (BIT1 n < BIT1 m = n < m) /\ (BIT2 n < BIT2 m = n < m) /\
     (BIT1 n < BIT2 m = ~(m < n)) /\ (BIT2 n < BIT1 m = n < m)

numeral_lte

|- !n m.
     (ZERO <= n = T) /\ (BIT1 n <= ZERO = F) /\ (BIT2 n <= ZERO = F) /\
     (BIT1 n <= BIT1 m = n <= m) /\ (BIT1 n <= BIT2 m = n <= m) /\
     (BIT2 n <= BIT1 m = ~(m <= n)) /\ (BIT2 n <= BIT2 m = n <= m)

numeral_pre

|- (PRE ZERO = ZERO) /\ (PRE (BIT1 ZERO) = ZERO) /\
   (!n. PRE (BIT1 (BIT1 n)) = BIT2 (PRE (BIT1 n))) /\
   (!n. PRE (BIT1 (BIT2 n)) = BIT2 (BIT1 n)) /\ !n. PRE (BIT2 n) = BIT1 n

bit_initiality

|- !zf b1f b2f.
     ?f.
       (f ZERO = zf) /\ (!n. f (BIT1 n) = b1f n (f n)) /\
       !n. f (BIT2 n) = b2f n (f n)

bit_induction

|- !P.
     P ZERO /\ (!n. P n ==> P (BIT1 n)) /\ (!n. P n ==> P (BIT2 n)) ==>
     !n. P n

iSUB_THM

|- !b n m.
     (numeral$iSUB b ZERO x = ZERO) /\ (numeral$iSUB T n ZERO = n) /\
     (numeral$iSUB F (BIT1 n) ZERO = numeral$iDUB n) /\
     (numeral$iSUB T (BIT1 n) (BIT1 m) = numeral$iDUB (numeral$iSUB T n m)) /\
     (numeral$iSUB F (BIT1 n) (BIT1 m) = BIT1 (numeral$iSUB F n m)) /\
     (numeral$iSUB T (BIT1 n) (BIT2 m) = BIT1 (numeral$iSUB F n m)) /\
     (numeral$iSUB F (BIT1 n) (BIT2 m) = numeral$iDUB (numeral$iSUB F n m)) /\
     (numeral$iSUB F (BIT2 n) ZERO = BIT1 n) /\
     (numeral$iSUB T (BIT2 n) (BIT1 m) = BIT1 (numeral$iSUB T n m)) /\
     (numeral$iSUB F (BIT2 n) (BIT1 m) = numeral$iDUB (numeral$iSUB T n m)) /\
     (numeral$iSUB T (BIT2 n) (BIT2 m) = numeral$iDUB (numeral$iSUB T n m)) /\
     (numeral$iSUB F (BIT2 n) (BIT2 m) = BIT1 (numeral$iSUB F n m))

numeral_sub

|- !n m. NUMERAL (n - m) = (if m < n then NUMERAL (numeral$iSUB T n m) else 0)

iDUB_removal

|- !n.
     (numeral$iDUB (BIT1 n) = BIT2 (numeral$iDUB n)) /\
     (numeral$iDUB (BIT2 n) = BIT2 (BIT1 n)) /\ (numeral$iDUB ZERO = ZERO)

numeral_mult

|- !n m.
     (ZERO * n = ZERO) /\ (n * ZERO = ZERO) /\
     (BIT1 n * m = numeral$iZ (numeral$iDUB (n * m) + m)) /\
     (BIT2 n * m = numeral$iDUB (numeral$iZ (n * m + m)))

numeral_exp

|- (!n. n ** ZERO = BIT1 ZERO) /\
   (!n m. n ** BIT1 m = n * numeral$iSQR (n ** m)) /\
   !n m. n ** BIT2 m = numeral$iSQR n * numeral$iSQR (n ** m)

numeral_evenodd

|- !n.
     EVEN ZERO /\ EVEN (BIT2 n) /\ ~EVEN (BIT1 n) /\ ~ODD ZERO /\
     ~ODD (BIT2 n) /\ ODD (BIT1 n)

numeral_fact

|- (FACT 0 = 1) /\
   (!n.
      FACT (NUMERAL (BIT1 n)) =
      NUMERAL (BIT1 n) * FACT (PRE (NUMERAL (BIT1 n)))) /\
   !n. FACT (NUMERAL (BIT2 n)) = NUMERAL (BIT2 n) * FACT (NUMERAL (BIT1 n))

numeral_funpow

|- (FUNPOW f 0 x = x) /\
   (FUNPOW f (NUMERAL (BIT1 n)) x =
    FUNPOW f (PRE (NUMERAL (BIT1 n))) (f x)) /\
   (FUNPOW f (NUMERAL (BIT2 n)) x = FUNPOW f (NUMERAL (BIT1 n)) (f x))

numeral_MIN

|- (MIN 0 x = 0) /\ (MIN x 0 = 0) /\
   (MIN (NUMERAL x) (NUMERAL y) = NUMERAL (if x < y then x else y))

numeral_MAX

|- (MAX 0 x = x) /\ (MAX x 0 = x) /\
   (MAX (NUMERAL x) (NUMERAL y) = NUMERAL (if x < y then y else x))

divmod_POS

|- !n.
     0 < n ==>
     (DIVMOD (a,m,n) =
      (if m < n then
         (a,m)
       else
         (let q = findq (1,m,n) in DIVMOD (a + q,m - n * q,n))))

DIVMOD_NUMERAL_CALC

|- (!m n. m DIV BIT1 n = FST (DIVMOD (ZERO,m,BIT1 n))) /\
   (!m n. m DIV BIT2 n = FST (DIVMOD (ZERO,m,BIT2 n))) /\
   (!m n. m MOD BIT1 n = SND (DIVMOD (ZERO,m,BIT1 n))) /\
   !m n. m MOD BIT2 n = SND (DIVMOD (ZERO,m,BIT2 n))

numeral_div2

|- (DIV2 0 = 0) /\ (!n. DIV2 (NUMERAL (BIT1 n)) = NUMERAL n) /\
   !n. DIV2 (NUMERAL (BIT2 n)) = NUMERAL (SUC n)

numeral_imod_2exp

|- (!n. numeral$iMOD_2EXP 0 n = ZERO) /\
   (!x n. numeral$iMOD_2EXP x ZERO = ZERO) /\
   (!x n.
      numeral$iMOD_2EXP (NUMERAL (BIT1 x)) (BIT1 n) =
      BIT1 (numeral$iMOD_2EXP (NUMERAL (BIT1 x) - 1) n)) /\
   (!x n.
      numeral$iMOD_2EXP (NUMERAL (BIT2 x)) (BIT1 n) =
      BIT1 (numeral$iMOD_2EXP (NUMERAL (BIT1 x)) n)) /\
   (!x n.
      numeral$iMOD_2EXP (NUMERAL (BIT1 x)) (BIT2 n) =
      numeral$iDUB (numeral$iMOD_2EXP (NUMERAL (BIT1 x) - 1) (SUC n))) /\
   !x n.
     numeral$iMOD_2EXP (NUMERAL (BIT2 x)) (BIT2 n) =
     numeral$iDUB (numeral$iMOD_2EXP (NUMERAL (BIT1 x)) (SUC n))

MOD_2EXP

|- (!x. MOD_2EXP x 0 = 0) /\
   !x n. MOD_2EXP x (NUMERAL n) = NUMERAL (numeral$iMOD_2EXP x n)

DIV_2EXP

|- !n x. DIV_2EXP n x = FUNPOW DIV2 n x